隔板模型本質(zhì)為相同元素分堆的問題，即將n個(gè)相同的元素分為m堆(一堆至少有一個(gè))。比如將10塊相同的糖果分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少分一塊的所有分法總共有多少種。我們要把10個(gè)相同元素元素分成5份，每份至少一個(gè)元素，那這種解題該如何進(jìn)行吶?我們可以將元素進(jìn)行分堆10個(gè)元素有9個(gè)空，而分成5堆需要在這9個(gè)空里加4個(gè)隔板，故一共有C(4,9)種分法。

一般地，我們能得到將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少分一個(gè)，共有C(m-1,n-1)種不同的方法。

當(dāng)然了，隔板模型有三個(gè)條件

1、元素必須完全相同;

2、每個(gè)對(duì)象至少分一個(gè)，不會(huì)出現(xiàn)有對(duì)象分不到元素的情況;

3、所有元素必須分完，不能有剩余;

如果3個(gè)條件中有任何條件不能夠滿足就不能直接使用隔板模型的公式，必須將題目中條件轉(zhuǎn)換為符合3個(gè)條件的情況，才能夠使用隔板模型的公式。

但是公考中的題目往往不會(huì)這么簡(jiǎn)單地同時(shí)滿足三個(gè)條件，我們需要通過一些技巧將題目轉(zhuǎn)換成等價(jià)的滿足三種條件的形式來求解。

【例1】將7個(gè)大小形狀相同的小球放進(jìn)三個(gè)不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，問共有多少方法?

A.12      B.24      C.36       D.48

【答案】C。解析：由于允許盒子為空所以不滿足隔板法的三個(gè)條件，那么我們先在每個(gè)盒子多加一個(gè)，那每個(gè)盒子至少一個(gè)的條件就可以滿足隔板法的公式，分完之后我們?cè)購(gòu)拿總�(gè)盒子拿走一個(gè)就和所求的題目等價(jià)，允許每個(gè)盒子至少0個(gè)也就是允許盒子為空，我們將7+3=10個(gè)球放進(jìn)三個(gè)盒子，一共有C(2,9)=36種方法，答案選C。

【例2】某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的01、02、03、04 四個(gè)教學(xué)班,而且要求每班的名額不少于該班的序號(hào)數(shù),則不同的分配方案共有( )種。

A.64 B.36 C.81 D.84

【答案】D。解析：要求01班至少1個(gè)名額，02班至少2個(gè)名額，03班至少3個(gè)名額，04班至少4個(gè)名額。那么我們給02班拿1個(gè)名額，給03班拿2個(gè)名額，給04班拿3個(gè)名額，那么此時(shí)每個(gè)班都是至少一個(gè)名額就能滿足隔板法的條件，還剩10個(gè)名額分給4個(gè)班，方法數(shù)為C(3,9)=84種。

小結(jié)：通常考試中會(huì)出現(xiàn)不滿足每個(gè)對(duì)象至少分到1個(gè)元素條件的題目，所以不能直接用隔板法，我們需要對(duì)題目進(jìn)行一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)換，讓它滿足隔板法的條件，從而套用公式。小伙伴們，學(xué)會(huì)了嗎?快快練習(xí)起來吧!